實驗教學影片：簡諧運動 如遇無法播放，請下載播放器：點我下載
by 電子系林垂彩老師
- 目的
- 瞭解彈簧力之虎克定律、彈力係數。
- 簡諧運動之位置、速度與加速度之關係；頻率之意義。
- 能量守恆定律。
- 瞭解彈簧力之虎克定律、彈力係數。
- 物理背景
- 簡諧運動
T - kx = Ma 合併兩式：
mg - T = ma
(M + m)a + kx = mg
加速度與位置關係：
a = x 得描述位置的微分方程式：
(M + m)x + kx = mg
這個方程式描述的運動模式為簡諧震盪，令X=x-mg/k，mg/k為起始位置；則其解為
X=X0 cos(ω t+ φ0)
X0為初振幅，φ0為初相位，兩者由起始條件決定。ω 為角速度 = 2π f =2π/T，
ω2 = k / (M+m)，
T為週期，或是換成頻率 f 為：
將X微分得到速度
V= - V0 sin(ω t+ φ0) = - ω X0 sin(ω t+ φ0) =ω X0 cos(ω t+ φ0 + π/2)
V0 =ω X0為速度振幅。再將V微分得到加速度
A = - A0 cos(ω t+ φ0) = - ω2 X0 cos(ω t+ φ0) =ω2X0 cos(ω t+ φ0 + π)
A0 =ω2 X0為加速度振幅。
- 誤差傳遞
- 簡諧運動
- 設備裝置注意事項
- 使用轉動感測器，設定取樣率為50Hz，測量位置、速度、加速度，選擇適當之凹輪。
- 裝彈簧：將兩條彈簧連至牽引滑車兩端，將其中ㄧ條連至已拴緊邊攔上端釘頭上，另ㄧ
條連至未拴緊邊攔上端釘頭上。調整未拴緊邊攔位置，至二條彈簧繃緊。拴緊邊攔。
- 使用轉動感測器，設定取樣率為50Hz，測量位置、速度、加速度，選擇適當之凹輪。
- 實驗項目
- 量測彈簧之彈力係數
- 改變法碼質量，待滑車靜止，記下滑車位置（以滑車上某點為準），填入數據到表格一。總共
取20個數據。 - 將20組數據輸入Data Studio，從F = k(x-x0)，將F(nt)放縱軸(Y)，位置x(m)放橫軸(X)，則線性
適配F =kx - kx0 ，斜率為k，截距為 kx0，紀錄斜率截距及其標準差。留下F-x的適配圖為圖3-1。
計算x0的誤差。 【注意：使用位置，而非位移！討論為何不使用位移？】
- 改變法碼質量，待滑車靜止，記下滑車位置（以滑車上某點為準），填入數據到表格一。總共
- 滑車運動之位置與速度
- 將一法碼套於法碼座上，記下法碼質量與滑車質量，填入表二。
- 使滑車靜止，再將法碼座往下拉十數公分，鬆手讓滑車被彈簧牽引在動力軌上來回運動（震盪），
同時啟動電腦量測；當滑車來回五六回後停止量測。 - 以X-Y定位鍵，從位置、速度、加速度圖讀出各波峰的時間振幅決定表二各參數並填寫之。留下圖
形為圖3-2。 - 另開一張圖將位置放在X軸，速度放在Y軸，觀察簡諧運動的相位關係，留下圖形為圖3-3。
【討論：為何形成這種圖案？】
- 滑車運動之頻率f與滑車質量M、法碼質量m之關係
- 改變滑車質量（M = 0.5, 0.6, 1.0, 1.5 Kg，實驗項目2的資料可重複使用），以實驗項目2方式
量測滑車運動之頻率，填入表三。 - 根據理論部分之頻率公式，代入實驗項目1決定之彈力係數與表三之滑車與法碼質量和。
- 分析由彈性係數誤差引起的頻率誤差，求出頻率之理論值及其上下限，填入表三。
- 改變滑車質量（M = 0.5, 0.6, 1.0, 1.5 Kg，實驗項目2的資料可重複使用），以實驗項目2方式
- 量測彈簧之彈力係數
- 評分標準
- 基本目標
- 表一、二、三及圖一、二、三。
- 進階目標
- 從實驗項目2中波峰的振幅為何越來越小？如何應用實驗2-1的磨擦係數做修正？比較磨擦力作的功
與彈性位能差值的關係（表格四可幫助你）。
- 比較每次波峰谷振幅降低的比率，找出其模式，看能否以某種適配預測其行為。
表一：量測彈簧之彈力係數 - 表二：滑車簡諧運動之位置、速度與加速度
- 表三：滑車簡諧運動之頻率 f 與滑車質量 M、法碼質量 m 之關係
- 進階項目： 表四：能量修正
法碼質量 m（g） 彈力 F（N） 滑車位置 x（m） 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 彈力係數 k ＝ ________.(N/m) 標準差 σk ＝ ________.(N/m)
平衡位置 X0 = ________.(m) 標準差 σ X0＝ ________.(m)
滑車質量 M（Kg） 法碼質量 m（Kg） 1. 位置曲線第一波峰振幅（m） ＝ ____________。
2. 位置曲線週期（s）＝ ____________，頻率（1/s）＝ ____________。
3. 速度曲線第一波峰振幅（m/s）＝ ____________。
4. 速度曲線週期（s）＝ ____________，頻率（1/s）＝ ____________。
5. 加速度曲線第一波峰振幅（m/s2）＝ ____________。
6. 加速度曲線週期（s）＝ ____________，頻率（1/s）＝ ____________。
7. 位置曲線與速度曲線相位差（度）＝ ____________。
8. 位置曲線與加速度曲線相位差（度）＝ ____________。
9. 速度曲線振幅 / 位置曲線振幅（1/s）＝ ____________。
10. 加速度曲線振幅 / 速度曲線振幅（1/s）＝ ____________。註：量週期時，取連續波峰或波谷數組量測時間差，再取平均值。
相位差 =（時間差/週期）×（2π或360°）
圖二：位置、速度、加速度對時間關係圖，圖三：速度對位置關係圖。
fexp ：實驗測得頻率 fdw：理論預測頻率下限 （k - σk） fth：理論預測頻率 （k） σf`: 頻率誤差 = （fup - fdw）/2 理論預測頻率上限 （k + σk） z =( fexp - fth)/ σf M + m fexp fth fup fdw σf z
平衡位置S0 振幅 x = S - S0 彈性位能 U =1/2kx2 磨擦力作功 W = μMg x 波峰谷 位置 S 振幅 x 彈性位能 U 磨擦力作功 W 位能差 ?U 1st波峰 X1 U1 0 0 1st波谷 X2 U2 W2 = μMg (│x1│ + │x2│) U1 – U2 2nd波峰 X3 U3 W3 = μMg (│x2│ + │x3│) U2 – U3 2nd波谷 3rd波峰 3rd波谷 - 基本目標
